Desigualdad e intervalos

Desigualdades:

Una desigualdad es una proposición que enuncia una relación entre cantidades diferentes. Los símbolos que se utilizan son: > "mayor que" < "menor que"

Postulados:

Postulado aditivo Si a dos miembros de una desigualdad se suman o restan cantidades iguales, el resultado es una desigualdad del mismo sentido.

6>4 y 3=3
entonces 6 + 3 > 4 + 3
o sea 9>7

Si dos miembros de una igualdad se restan los dos miembros de una desigualdad, el resultado es otra desigualdad de sentido opuesto al de la desigualdad.

10 = 10 y 6>3
entonces 10-6 < 10-3
o sea 4<7

Si cantidades desiguales se multiplican o dividen por un mismo número positivo, lasresultantes son desigualdades en el mismo sentido que las primitivas.


Si 5 > 3
entonces (2) (5) > (2) (3)
o sea 10 > 6


Si cantidades desiguales se multiplican o dividen por un mismo número negativo, las resultantes son desigualdades en sentido opuesto al de las primitivas.


Si 5 > 3
entonces (-2) (5) < (-2) (3)
o sea - 10 < -6

TEOREMAS

Propiedades básicas de desigualdades.
Si a, b y c son números reales entonces:
a) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a < b, a > b , a = b

b) Propiedad aditiva: a < b => a + c < b + c
c) Primera propiedad multiplicativa: a < b, c > 0 ⇒ ac < bc
d) Segunda propiedad multiplicativa: a < b, c < 0 ⇒ ac > bc
e) 1 > 0
f) a < b ⇒ -b > -a
g) a < 0 ⇒ -a > 0
h) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativos
i) ab < 0 ⇒ un número es positivo y el otro negativo
j) a > 0 ⇒ 1/a >0
k) a < b, c < d ⇒ => a+c < b+d





INTERVALOS DE LA RECTA REAL

Intervalos son conjuntos de números reales que coinciden con tramos de la recta real. Para ello hay una notación específica. Hay distintos tipos de intervalos:


Intervalo abierto (a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa: a< x < b.

Intervalo cerrado [a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se expresa a≤ x ≤b.

Intervalo abierto a la derecha [a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa
a≤ x < b

Intervalo abierto a la izquierda (a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa
a< x ≤b.