Desigualdad e intervalos

Desigualdades:

Una desigualdad es una proposición que enuncia una relación entre cantidades diferentes. Los símbolos que se utilizan son: > "mayor que" < "menor que"

Postulados:

Postulado aditivo Si a dos miembros de una desigualdad se suman o restan cantidades iguales, el resultado es una desigualdad del mismo sentido.

6>4 y 3=3
entonces 6 + 3 > 4 + 3
o sea 9>7

Si dos miembros de una igualdad se restan los dos miembros de una desigualdad, el resultado es otra desigualdad de sentido opuesto al de la desigualdad.

10 = 10 y 6>3
entonces 10-6 < 10-3
o sea 4<7

Si cantidades desiguales se multiplican o dividen por un mismo número positivo, lasresultantes son desigualdades en el mismo sentido que las primitivas.


Si 5 > 3
entonces (2) (5) > (2) (3)
o sea 10 > 6


Si cantidades desiguales se multiplican o dividen por un mismo número negativo, las resultantes son desigualdades en sentido opuesto al de las primitivas.


Si 5 > 3
entonces (-2) (5) < (-2) (3)
o sea - 10 < -6

TEOREMAS

Propiedades básicas de desigualdades.
Si a, b y c son números reales entonces:
a) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a < b, a > b , a = b

b) Propiedad aditiva: a < b => a + c < b + c
c) Primera propiedad multiplicativa: a < b, c > 0 ⇒ ac < bc
d) Segunda propiedad multiplicativa: a < b, c < 0 ⇒ ac > bc
e) 1 > 0
f) a < b ⇒ -b > -a
g) a < 0 ⇒ -a > 0
h) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativos
i) ab < 0 ⇒ un número es positivo y el otro negativo
j) a > 0 ⇒ 1/a >0
k) a < b, c < d ⇒ => a+c < b+d





INTERVALOS DE LA RECTA REAL

Intervalos son conjuntos de números reales que coinciden con tramos de la recta real. Para ello hay una notación específica. Hay distintos tipos de intervalos:


Intervalo abierto (a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa: a< x < b.

Intervalo cerrado [a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se expresa a≤ x ≤b.

Intervalo abierto a la derecha [a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa
a≤ x < b

Intervalo abierto a la izquierda (a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa
a< x ≤b.

Repaso (tarea)

Tarea:
Repaso

A que propiedad corresponden las siguientes expresiones:
1) (-2)+(2): inverso
2) 3(√5+1): conmutativa
3) √13+0=√13 : indentidad
4) Si x =√3 entonces√3= x : simetrica
5) √2= √2 : reflexiva
6) (2+2y)+z = z+(2+2y) = conmutativa.

Expresar los siguientes números como racional, entero o decimal si es posible:

a) 0.4444…..= 4/9 Racional
X= 0.4444
10x = 4.4
x = 0.4
9x= 4
x = 4

b) 0.505050...= 50/99 Racional
x= 0.505050
100x = 50.50
x = 0.50
99x= 50
x = 50/99



c) 5.818181= 64/11 Racional
X= 5.818181
100x = 581.81
x = 5.81
99x= 576
x= 576/99
x = 64/11

d) 3.023023= 3020/999 Racional
X= 3.023023
1000x = 3023.023
x = 3.023
999x= 3020
x = 3020/999

e) 1/8 = 0.125 Racional

f) 15/23 = 0.652173913 Irracional

g) √2 = 1.414213562 Irracional

h) π = 3.1416… Irracional

Numeros reales.

Historia de los números reales


El sistema de los números reales es el formado por los números racionales y por los irracionales, o lo que es lo mismo, por el conjunto de todos los números decimales, siendo los decimales exactos, puros y mixtos los que corresponden a los racionales, y los restantes a los irracionales. Es por ello, el que su evolución histórica este ligada a la de los sistemas de números ya comentados. En consecuencia, este epígrafe resume la evolución de los números en general, que está íntimamente ligada a la evolución del álgebra. Distinguimos tres etapas:
Desde los tiempos más remotos hasta el siglo V a.C.
El concepto de número positivo, fue adquirido muy lentamente. Para muchas razas los números mayores que tres no tenían nombre; en otras todo lo que superaba al tres se conocía por "muchos".
Percibían los números como una propiedad inseparable de una colección de objetos, sin distinguirla de forma clara, es decir no se distinguen los números como algo abstracto. Estas conclusiones, se han deducido de los nombres que se sabe recibieron algunos números, un tiempo después, así por ejemplo "mano" que equivalía al número cinco, en cuyo caso cinco no se entiende en sentido abstracto sino en el de "tantos como los dedos de una mano". De esta forma se llegaron a utilizar distintos nombres para un mismo número de objetos: Uno para personas, otro para arboles, etc.

Paso bastante tiempo y comparar muchas veces colecciones con el mismo número de objetos, para poner en correspondencia biunívoca los elementos de ellas, hasta llegar al concepto "abstracto de número".

Las operaciones entre números aparecieron como reflejo de las relaciones entre objetos concretos, así por ejemplo se estableció que una suma no depende del orden de los sumandos.

Conforme la sociedad iba evolucionando, el hombre se vio ante la necesidad de perfeccionar los nombres y símbolos de los números y posteriormente la introducción de signos y designación literal de las incógnitas.

Los babilonios tenían un sistema de escritura de los números que era parcialmente decimal y parcialmente sexagesimal. En sus últimas escrituras cuneiformes ya apareció el cero, aunque fueron los indios los que verdaderamente lo introdujeron, al que llamaron "vacío", y les permitió elaborar un sistema de escritura análogo al de hoy en día.


Los antiguos griegos y posteriormente los rusos, hicieron uso de letras para designar números siendo, no obstante, los árabes los que trajeron a Europa de la India nuestros símbolos actuales y el método de formación de números.


Desde el siglo V a.C hasta el siglo XVII
Dentro de la etapa se pueden distinguir tres periodos:
Griego.
Comienza en el siglo VII a.C y finaliza en el VII d.C. En este periodo se sabía que la sucesión de números se podía prolongar indefinidamente, con lo que se empezó a intuir la noción del infinito, así como que se podía operar con los números en general y formular y probar teoremas sobre ellos.
Los griegos, establecieron los cimientos para la teoría de números y descubrieron las magnitudes irracionales. Euclides estableció ya la existencia de un número infinito de números primos y Erastótenes creó un método para obtenerlos. Conocían propiedades sobre las progresiones aritméticas y geométricas y extraían raíces cuadradas y cúbicas. No conocían los números negativos.

Fueron los chinos los que por primera vez usaron los coeficientes negativos en los sistemas de ecuaciones de primer grado, dando un método para la búsqueda de las soluciones positivas de un sistema de tres ecuaciones de primer grado.


Oriental.
Cubre el periodo entre los siglos V y XV. Al declinar la ciencia griega, el centro del desarrollo científico se desplaza a la India, Asia Central y los países árabes. Aquí, el camino de la matemática lo marcó, en gran parte, las astronomía.
Los indios introdujeron los números negativos y operaron con magnitudes irracionales, sin representaras geométricamente.

Los matemáticos del Asia central calcularon las raíces de las ecuaciones y, conocían, expresada en palabras, la fórmula del binomio de Newton. Inventaron las fracciones decimales.

Los chinos conocían el medio para resolver ecuaciones indeterminadas muy sencillas y las de tercer grado.


Renacimiento Europeo.
Entre los siglos XVI y XVIII, Tartaglia y Ferrari, de la escuela italiana, resolvieron por radicales la ecuación de tercer grado y, posteriormente, la de cuarto. Se comenzaron a utilizar los números negativos y los imaginarios (a + b . sqr(-1)). Viète introdujo los símbolos agebraicos y Descartes los perfeccionó. Neper inventó los logaritmos y apareció la teoría de las combinaciones. Con alguna aportación más, se completo a comienzos del siglo XVIII la estructura del álgebra elemental.

Siglo XVIII en adelante.
Debido al nacimiento del Análisis matemático, su desarrollo estuvo relegado hasta la primera mitad del siglo XIX para que se profundizara más en su estudio aunque ya enfocado a una ampliación más global del concepto de número.
Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números por parte de los Griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.

Los conceptos de intervalo y entornos asociados a los números reales, así como una operación denominada paso al límite, consolidó y otorgó rigor al conjunto de conceptos y métodos que constituyen la rama de las matemáticas conocida como Cálculo diferencial e Integral.

Clasficacion:

N - NÚMEROS NATURALES

Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar elementos o cosas

Z - NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, LOS NATURALES Y sus opuestos (negativos).

Q - NÚMEROS RACIONALES

número racional es todo aquel número que puede ser expresado como resultado de la división de dos números enteros. Comúnmente es a lo que se les llama numeros decimales, tanto en fracción como expresado con comas. Cualquier numero puede representarse como una fracción de denominador 1 (ejem. 4/1) o como numero decimal (ejem. 4,0), por lo tanto los NUMEROS NATURALES Y ENTEROS SON RACIONALES.

Se clasifican en:

Comunes, son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros.

Decimales, son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros.

Propias, son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador.

Impropias, son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.

Iguales a la unidad, son aquellas cuyo numerador es igual al denominador.

Números mixtos, son aquellas que constan de una parte entera y una parte fraccionaria. Los números mixtos son otra forma de representar las fracciones impropias.



I - NÚMEROS IRRACIONALES

LOS NÚMEROS IRRACIONALES no pueden representarse en forma fraccionaria. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo. Debido a ello, los más celebres números irracionales son identificados mediante símbolos. El más conocido es: (Pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.

Tenemos entonces que un número irracional, es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos enteros, y pueden ser positivos o negativos.

Números irracionales (con decimales infinitos, no repetitivos)

Propiedades de la igualdad:

Si a, b y c son nombres de objetos, tenemos:

Propiedad reflexiva: a=a
Propiedad simétrica: Si a=b, entonces:b=a
Propiedad transitiva: Si a=b yb=c , entonces: c=a
Principio de sustitución: Si a=b , cualquiera de las dos puede reemplazar a la otra en una proposición, sin alterar la verdad o falsedad de dicha proposición.

Propiedades de los numeros reales:

Si a, b y c son números reales entonces:

Conmutativa-.

Suma

a+b = b+a

Multiplicación

ab = ba

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

Asociativa-.

Suma: a+(b+c)=(a+b)+c

Multiplicación: a(bc) = (ab)c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

Identidad-.

Suma : a + 0 = a


Multiplicación: a x 1= a


Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.

Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

Inversos-.

Suma: a + ( -a) = 0
La suma de opuestos es cero.

Multiplicación: (a) 1/a= 1

El producto de recíprocos es 1.


Distributiva-.

Suma: a(b+c) = ab + ac

el factor se distrubuye a cada sumando